"Én is egy kicsit furcsának találom, hogy minden sebesség megváltozik egy mozgó rendszerben, csak a fénysebesség nem."

Én is furcsának találom. És a Doppler jelenség azt bizonyítja, hogy a fénysebesség is változik. 

"Miért kivétel éppen a fénysebesség?"

Na látod. Rátapintottál a lényegre. Miért kivétel éppen a fénysebesség?

Erre senki nem tudja a választ.