A gyökös kifejezésbe került egy elírás, a helyes képlet (1+gyök(8b2-7))/4. Ez a kifejezés nem képezi a racionális számokat racionális számokra. Speciális racionális számokat képez speciális racionális számokra. A megoldásomban végül nem használtam ezt a kifejezést, mert nem volt szükség az a-t kifejezni a b-ből (a másodfokú egyenlet megoldóképletével). Mindenesetre a megoldásomból kiolvasható, hogy mely racionális b számokra lesz (1+gyök(8b2-7))/4 racionális:
Ha t egy racionális szám, amelyre -4-gyök(14)<t<-gyök(2) vagy -4+gyök(14)<t<gyök(2), továbbá b=(2+t+t2)/(2-t2), akkor (1+gyök(8b2-7))/4 racionális. A többi racionális b számra (1+gyök(8b2-7))/4 nem racionális.
A megoldás tovább egyszerűsíthető, mert a b-re nem vagyunk kíváncsiak, és ezért róla feltehető, hogy nemnegatív. Magyarán az (1)-ben feltehető, hogy b>=0, ami annyit tesz, hogy |t|<gyök(2). Igy a (2)-ben elég a második intervallumra szorítkozni.
Összefoglalva. Az a szám akkor és csak akkor jó, ha (1+2t)/(2-t2) alakba írható, ahol 0<=t<=1 racionális szám.
Ennek a megoldásnak az is előnye, hogy az (1+2t)/(2-t2) bijektíven képezi a [0,1]-et az [1/2,3]-ra.
OK, tehát a kérdés a 2a2-a+1=b2 görbe racionális pontjairól szól. Ennek a görbének van racionális pontja, pl. (a0,b0)=(0,1). Ha (a,b) a feladatból származó racionális pont (tehát a>=1/2), akkor a
t := (b-b0)/(a-a0) = (b-1)/a
meredekség racionális. Ez a meredekség paraméterezi a szóban forgó pontot. Nevezetesen a fenti egyenletből
b = 1+at,
amit az eredeti egyenletbe helyettesítve, majd a-val osztva kapjuk, hogy
(1) a = (1+2t)/(2-t2) és b=(2+t+t2)/(2-t2).
Jegyezzük meg, hogy a 2-t2 nevező nem nulla, hiszen t racionális. Most már csak az a kérdés, hogy mikor teljesül 1/2<=a<=3. A megoldás (Mathematica szerint)
(2) -4<=t<=-5/3 vagy 0<=t<=1.
Összefoglalva: az (1) egyenletbeli a számok a megoldások, ahol t a (2)-t kielégítő racionális szám.
Dicséretes az igyekezet, de így szerintem nem (szerintem sem) igazán lehet célba érni.
Sajnos a számítógép mindig racionális számokkal dolgozik (kettedes törtek), és még kerekít is.
A számítógépet természetesen lehet arra kérni, hogy egészekkel dolgozzon, és ezt te is nyilván tudod. Magát a feladatot szerintem eleve úgy kellene felírni, hogy a "racionális szám" műfaja helyett valóban csak egész számok szerepeljenek benne, azaz pl.
2(r/s)2-r/s+1 = (p/q)2
és a feladat ebben a felírásban az lehetne, hogy megfelelő egészeket találjunk. A módját persze én sem tudom, de ezzel legalább a "brute force" korrekten (számábrázolási és kerekítési zűröktől mentesen) meg tud birkózni.
Van-e valami módszer annak megállapítására (a "brute force"-jellegűeken kívül), hogy a 2a2-a+1 kifejezés mely 1/2 <= a <=3 értékekre racionális szám négyzete?
Olyat is hozhat az élet, hogy ábrázolni kell az egész exponenciális függvényt. Mekkora papír kell, ha az egység 1 cm?
Negatív x-ek felé 75 cm-nél érjük el a Planck-hosszt, innen a függvénygörbe és az x-tengely már elvileg sem különböztethető meg. Persze ez fizika, és a matek modellje más, ezért az előző mondat marhaság, de nekünk megfelel. Gyakorlatilag meg elég 18 cm-t balra menni az atomok méretéig.
Pozitív x-ek felé még hamarabb végzünk, mert 65 cm-nél a függvény értéke a belátható univerzum sugara, a Hubble tágulás az e65 cm-nél nagyobb papírt széttépi.
A válasz tehát: jó nagy papír kell, de legalább nem kell 140 cm-nél szélesebbnek lennie. :o)
Az ilyen nyeglén odavetett megjegyzésekkel gyógyítgatja a sérült önérzetét. Csak sajnos elveszi mindenki kedvét a segítségtől. Anélkül meg hiába próbál mindenféle könyvekből tájékozódni, az eget verő egója megakadályozza, hogy odáig visszalépjen, ameddig eljutott a megértésben.
Itt senki sem azért van. Hanem azért, hogy mindenféle kötelezettségtől mentesen kikapcsolódjon. Ha ez a kikapcsolódás épp abból áll, hogy másnak segít, az külön szerencse, amiért hálás lehet az, akinek segít. Majd ha valaki jó pénzért elvállalja, hogy azzal foglalkozzon, amivel te szeretnéd, akkor mondhatod, hogy ő azért van.
Akkor ugye a pillanatnyi álláspontunk az, hogy ez az ω se nem egész, se nem valós.
Akkor valahogy definiálni kellene a műveleteit, kezdve azzal, hogy milyen halmazon vannak értelmezve ezek a műveletek.
Messze a legjobb lenne, ha lenne valamilyen R+ halmaz, aminek ω eleme, R részhalmaza, és vannak valami jó kis műveletek, amikkel valamilyen algebrai struktúrát alkot.
Például az R feletti egyváltozós polinomok gyűrűt alkotnak, a polinomtörtek meg számtestet, pl. egy osztás: (1+2x)/(1+x3) : (x+x2)/(1+2x) = (1+4x+4x2)/(x+x2+x4+x5)
>Az x/ω hányadosnak (ahol x valós szám) akkor van értelme, ha definiálod.
#Na ez nagyon jó hír, mert pont azt csinálom, csináltam, csak egy picit elcsúsztam azon, hogy omega már nem eleme vagy részhalmaza annak a halmaznak, amibe még belegondoltam, de ez nem zavarja meg azt, amit akarok vele. És ez jó. :)
