Keresés

Ugyanakkora meredekséggel, mint az x^x, melyhez hozzásimulnak a kis pozitív értékeknél. Azaz -∞, az y tengely érintője a függvénygörbéknek (bár x=0-ra nincsenek értelmezve).

Mindkét függvény magában hordoz egy érdekes kérdést, hogyan viselkednek a nulla közelében? :)

(A jobbról vett határérték 1 lesz, és lefelé indulnak, de azt már nem tudom milyen meredekséggel... :)

Egy másik érdekesség volt, hogy amikor a végtelen sor összegképletét felhasználva (0<q<1) megtanultuk, hogy hogyan lehet a végtelen, ismétlődő tizedes törtek egész számos törtalakját megtalálni, akkor rájöttem, hogy van valami bökkenő a 0,999999... alakú számmal. (0,111... --> 1/9, 0,222... --> 2/9, stb. 0,999... --> 9/9... 😲😲😲, ami ugyebár 1.)

Lehet érdemes volna az exponenciális függvényeket is megnézned. 😁

Végül is azok felfoghatók úgy is, mint a mértani sorozatok kiterjesztése, immár nem csak egész számoknál lehetnek értékeink (első, második, ... n-edik elem), hanem tetszőleges "törtszámadik" elem is létezik.

Gimis koromban a függvények kapcsán próbáltam minél érdekesebb megjelenésű függvényeket kitalálni. Talán legjobb az

 y = x^sin(x)

lett. :) Mondjuk ez nem kapcsolódik a mértani sorokhoz, viszont ha megfordítjuk:

y = sin(x)^x,

akkor az már igen.

Ez kevésbé látványos függvény lesz, ellenben nem kevesbé érdekes. Ahogy egy távolabbi periódusokat nézünk, fokozatosan egyre jobban elkeskenyedő egységnyi tüskékké változnak a hullámok.

"|K> = |k>/gyök(k₀)"

Valószínűségi sűrűségekről lévén szó tényleg szokásos a "vektorok" hosszát 1-re normálni.

(Egyébként elég kusza, főleg a jelölései.)

Nem segíti a megértést, ha összezagyválják a jelöléseket.

Például

a := a/c

:(

Kicsit korrektebb mértéket választani, például c==1.

Nem jó ez az értelmezés. Hiába tünteti fel úgy, hogy <..> = ∫dk/k₀ ... , ez nem jó az elsőhöz: <k|k'>

Az 1/k₀ mindenhol jobb helyen volna nem a dk alatt, hanem két 1/gyök(k₀) ként <k| alá és |k> alá kell tenni. Ekkor minden olyan, mint a megszokott esetben. Ekkor látszik, hogyan lett az elváltoztatva.

Legyen K=k, de:

|K> = |k>/gyök(k₀)

<K| = <k|/gyök(k₀)

Ekkor már <K|K'> = δ(K-K')   = δ(k-k')  és minden a szokásos.

Az egységelem:   ∫dk |K><K|

A relativisztikus kvantumos részecskeelméletben nem a valószínűségi értelemhez szükséges számértékek a mérvadók elsősorban, hanem az energia-impulzus tenzorhoz szükségesek. Ez okoz némi nehézséget, de akkor is. Ez okozza azt is, hogy a részecske lokalizált (pillanatnyi) állapotához nem tűéles koordinátatérbeli hullámfüggvény tartozik (mint egy Dirac-delta), hanem 1/m széles (elkent), ami távolabb exponenciálisan csökken.

Reggelre eszembe jutott a levezetés. :D

S = 1 + q + q² + q³ +++

(Kondenzátum.)

Szorozzuk be, aztán vonjuk ki.

qS = q + q² + q³ +++

S - qS = 1

Másik módszerrel:

9 tábla csokoládé áráért kapsz 10 táblát.

q = 1/10

S = 10/9

10 = 1/q

9 = 1/q - 1

Remélem, hogy kijön. :o)

S = (1/q)/((1/q)-1) = 1/(1-q)

"Ezt azért az ELTE-n a vegyészeknél is illett volna tanítani (tanulni)."

Ez gimnáziumi tananyag...

(Sokminden történt velem azóta. Jelenleg négy órában dolgozom, hogy kiegészítsem a rokkantsági ellátás összegét és van időm felfrissíteni az emlékeimet ... ezen téren is.)

"...  keress valami izgisebbet az elkövetkező évtizedekre ;)..."

Pl. szex ... az biztos izgisebb :-) :-) :-) 

Számomra ebben a témakörben egyetlen érdekes feladat van:

„Volt egy csokoládéfajta, amit úgy akartak népszerűvé tenni, hogy egy szelvényt is csomagoltak a burkoló ezüstpapírba. Aki 10 db ilyen szelvényt beszolgáltatott, az egy újabb tábla csokoládét kapott érte. Ha van egy ilyen tábla csokoládém, mennyit is ér az valójában?”

(Most eltekintünk attól, hogy az akció véges ideig tart. Ettől függetlenül végesben is értelmes.)

Ugyanitt bebizonyítható, hogy 0.999... = 1.0 :o)

"Nem vagyok matematikus."

Ezt azért az ELTE-n a vegyészeknél is illett volna tanítani (tanulni).

"Lehetséges, hogy ha a törtszám a hányados a limes, határérték felé tart a sorozat ?"

Nem épp értelmes módon tetted fel a kérdést.

Mindenesetre ha

akkor ha

q > 1, a1 > 0, akkor ez +végtelenhez tart

q > 1, a1 < 0, akkor ez -végtelenhez tart

q = 0 vagy a1 = 0, akkor ez 0-hoz tart (a2-től 0)
q < -1 akkor ez divergens (felváltva vesz fel egyre nagyobb abszolút értékű pozitív és negatív értékeket)

q = -1 akkor ez divergens (felváltva vesz fel +/-a1-et)

q = 1, akkor minden elem = a1

-1 < q < q, akkor ez 0-hoz tart

Remélem nem vettem el ezzel az életcélodat :)

Sajna ez kb ennyi és semmi több, szóval szerintem keress valami izgisebbet az elkövetkező évtizedekre ;)

A képlet, amit felírtál [ a₁/(1-q) ], nem a mértani sorozat (n. elemének) határértéke n->∞ mellett, hanem a megfelelő |q|<1 kvóciensű mértani sor összege.

A |q|<1 kvóciensű mértani sorozat n. eleme természetesen 0-hoz tart; sorozat és sor pedig nagyon nem ugyanaz.

A mértani sorozat szépsége, hogy képes hihetelenül gyors ütemben növekedni. Vagy ugyanilyen ütemben csökkenni .... 62 éves vagyok. Életem hátralevő részét, azt hiszem a mértani sorozatoknak fogom szentelni.

Mit Ön linkelt, elég szép feladvány .... Sokáig tartó házi feladat .... :-) 

a₁/(1-q)

De csak akkor, ha |q|<1.

Ahol a₁ a sorozat első eleme.

Mértani sorozat

JA ÉN ITT CSAK mértani sorozatokról írok. Csak ez érdekel, minden az.

Nem vagyok matematikus. Lehetséges, hogy ha a törtszám a hányados a limes, határérték felé tart a sorozat ?

(Felőlem akár vektort vagy mátrixot is vehetsz kvóciensnek.)

Itt van például egy egyszerű szabály: az a, b, c számok akkor alkotnak mértani sorozatot, ha ac=b^2 (kiveve az a=b=0, c≠0 esetet)

Önmagában nincs megkötés, de természetesen a konvergencia sem garantált általában.

Bemutatkozom: Az ELTE TTK vegyész szakán végeztem 1985 -ben. De azért oda is kell a matematika. Persze az életkor ideiglenes állapot .....

Egy ideje érdekel a mértani sorozatok témája. Csak ebben a témában fogok írni .... Csak ez érdekel ...

Köszönöm ! :-) Bár maradok a magam szűkreszabott matematikai világában. :-) De ez is érdekes ! A mértani sorozatokra valahogy "rákkantam". Majd írok példát miért. Nagyon érdekes világ !!

Ezennel engedélyezem, hogy bármely valós vagy komplex számot használhass.

Tiszelt Fórumtársaság ! Tiszteletteljes üdvözletem küldöm Önöknek !

Nagyon beleszerettem a mértani sorozatokba. (Ennek okát majd később közlöm.) Ugye itt fontos dolog a hányados, amiről tudom, hogy lehet akár pozitív, akár negítív egyész szám, sőt törtszám is. Kérdesem, mivel nem vagyok "eléggé művelt matematikailag" .... Vannak -e megkötések a hányadosra ? Gondolok arra, lehet -e transzcendens szám, netán imaginárius szám ? Hogy a mértani sorozat fennáljon, a hányadosnak "mit kell tudnia" :-) Köszike a válaszokat, remélem lesznek.

Próbálom értelmezni...

Jól összekeverték.

Mit akarna ez jelenteni?

Ennek csak úgy van értelme, ha itt k a vektor komponenseinek indexe.

Folytonos térben pedig a függvény változója. f(k), k ∈ ℝ

|k><k|

A korábbi |u> és |d> példánál maradva ez a diadikus szorzat átlója, négyzetesen összegezve.

Nyomokban értelmet is tartalmaz.

∫ f^*(x) δ(x) f(x) dx = |f(0)|²

A jelölések összezagyválásával nehéz tudományt művelni.

Márpedig itt a jelöléseknek erősen kontextusfüggő jelentésük van.

k₀ = k₀ (k)

∫ f(x) δ(x-x') dx = 1

Ahol x' egy szám, x pedig valós változó.

<k|k'> = k₀ δ(k-k')

Blödsinn. :(

Hórihorgas.

Próbálom összeegyeztetni az általam tanult jelölésekkel. Mindkét közismert reprezentációban.

Mátrix formában a Dirac-deltából Kronecker-delta lesz. Nem Honecker.

Körülményes oszlopot írni, ezért a két bra bázisvektort adom meg.

<u| = (1, 0)

<d| = (0, 1)

A vessző után szándékosan szóközt tettem, nehogy valaki tizedesvesszőnek gondolja.

Folytonos térben a Dirac-delta egy függvényre hat. (Senkit nem zavar, hogy a hátsó szájával eszi. És ugyanott köpi ki.)

Tehát például:

x² δ(x-5) = ?

Félek, ez így nem jó. 8-]

Integrálni is kell.

∫ x² δ(x-5) dx = 5²

Ennek már van értelme.

Mátrix reprezentációban mit írnánk?

<u|1> = <(1, 0)|1> = 1, a vektor első eleme.

<u|2> = <(1, 0)|2> = 0, a vektor második eleme. Több ló nem indult az értelmezési tartományban.

Tehát itt k' eleme a {1, 2} halmaznak.

És a bra-ket "sklaáris" szorzat implicite tartalmazza az összegzést (a teljes értelmezési tartományon).

Amit mutattam, az eltér a szokványos kvantummechanikától. A relativisztikus forma, és a Lorentz-transzformáció miatt nem egyenletes az impulzustérben a bázisok méreteloszlása. És ez mellett ilyen módon lehet hozzáilleszteni a valószínűségeket kifejező értékeket. 

Kotorászok az emlékeimben, hogy a |k><k| mit akar jelenteni.

(Kénytelen leszek elővenni a könyvet...)

Diszkretizáljunk!

Legyen a két bázisvektor |u> = (1, 0)^* és |d> = (0, 1)^*.

Nehéz oszlopot írni, azért csillagoztam.

Ψ = α |u> + β |d>

És <Ψ|Ψ> = 1,

integrál helyett csak szumma van.

α² + β² = 1

A bázisvektorok pedig ortonormáltak.

Próbálom megérteni a jelöléseit. Nekem nem így tanították.

Nem konzisztens.

Először halmazról beszél. {|k>}

Aztán meg ez a <k|k'> lrtelmetlennke tűnik a Dirac-deltával.

Ez szerintetek jó?