"For example, 2ω = ω < ω2 in ordinal arithmetic while 2ℵ0 = ℵ1 > ℵ0 = ℵ02 in cardinal arithmetic, although the von Neumann assignment puts ℵ0 = ω. "
Úgy gondolom valami olyasmi a válasz, mint ezekre, hogy más aritmetika vonatkozik az ordinális számokra, és más a kardinális számokra. Na de akárhogy is nézem ezeket, valahogy mindig ellentmondásosságot látok bennük. Hogy is van ez?
Itt több helyen az áll, hogy az epszilon számok nagysága megszámlálható számosságokat jelentenek. Na de már 2ω = אegymegszámlálhatatlan számosságot jelent. Akkor pl. ε0 = ωωω•• nyilván nem lehet megszámlálható számosság. Hogy van ez?
Kíváncsi vagyok, hogy mennyire csapjuk be az ügyfeleket.
Oldjuk meg ezt a kis számtan példát...
a: pontos érték (etalon)
b: leolvasott érték
c: hiba százalék
Amikor leolvassuk a mérési eredményt, az egy pontatlan érték, amelyből a pontos értéket meg kellene határozni a hibatáblázat alapján. (Mert a hiba a méréshatár mentén változik, még előjelet is válthat.)
Bamba módon azt gondolhatnábk, hogy a hibát le kell vonni.
De ha végigszámoljuk...
Ez pedig az az eset, amikor 1/(1+x)≈1-x, ha 1<<|x|.
Magyarországon szerintem a nullát a matematikusok többsége természetes számnak tekinti, mert így tanultuk az általános iskolában. Ennek oka szerintem, hogy amikor (jó régen) az oktatásba behoztuk az "új matekot", a francia iskolát követtük (Bourbaki). Továbbá nálunk a halmazelmélet erős és nagy tiszteletnek örvend. Egyébként pár éve tudtam meg és ledöbbentett, hogy az egyik társszerzőm (és vele együtt a fél világ) nem tekinti a nullát természetes számnak. A másik két társszerzőm viszont annak tekinti, így a cikkben kihangsúlyoztuk a jelöléseknél, hogy az N szimbólum a {0,1,2,...} halmazt jelöli; ui. abban a cikkben sokat használtuk ezt a jelölést.
Van az etalonunk, mondjuk 1.0000 fityfiritty (±2E-5, de most nem ezt fogom kihegyezni).
Emberünk - ktori dícsérettle a farzsebében - úgy találta ki, hogy a százalékot az etalonhoz mérjük.
Tehát például a mérőeszköz 1.02 értlket mutat, akkor a relatív hiba 100*(1.02-1.00)/1.00 = +2%.
De a probléma az, hogy amikor az ügyfél használja az eszközt, neki nincs etalon.
Van egy ismeretlen mennyisége, és azt akarja 2%-kal korrigálni.
(Ráadásul az elsőrendű hibán kívül másodrendű hibát is beleviszünk.)
Didaktikai okok miatt célszerű sokkal jobban eltérni az ε hibától.
Tehát például a leolvasott érték legyen 1.00 helyett 2.70 inkább.
(Szerintem célszerű lenne pragmatikusan a leolvasott értékhez viszonyítani, de ez szélmajomharc.)
Vagyis: 100*(2.70-1.00)/1.00 = 170%
Most tegyük fel, hogy az ügyfél megmér valamit, és a leolvasott érték (2.70 már túl egyszerű lenne) legyen 2.85 mondjuk. És azt kérdezzük, hogy a lokálisan (a hibagörbe adott helyének közelében) a 170%-os hibát alapul véve mennyi a tényleges mennyiség?
Még egy nyomós érv, hogy a SageMath is 1-nek tekinti a 00-t. Egy ellenérv viszont, hogy a Mathematica nem meghatározottnak tekinti a 00-t. Boldog Karácsonyt Mindenkinek!
amikor viszont arról van szó, hogy a 0 természetes szám-e, a halmazelméleti érvelést elutasítod
Nem emlékszem ilyenre. Én azon matematikusok közé tartozom, akik a 0-t természetes számnak tekintik. Pont azért, mert a 0 a legkisebb számosság, az üres halmaz számossága. Számomra a természetes számok halmaza a legkisebb végtelen számosság, tehát a véges rendszámok halmaza: {0,1,2,...}
Egyébként mindenki olyan definíciót használ, amilyet akar (ami kényelmes neki), ez nem ideológiai kérdés. A 00-t sokszor célszerű 1-nek tekinteni, erre írtam pár példát.
Azért ez elég furcsa. Halmazelméleti érvelést hozol fel, amikor viszont arról van szó, hogy a 0 természetes szám-e, a halmazelméleti érvelést elutasítod. Ez így ellentmondásnak tűnik.
Nem egészen e beszélgetéshez tartozik, de legalább ontopik. Szóval nemrég szembesültem vele, hogy a polinom általában elfogadott definíciója szerint eleve többváltozós, azaz a (tetszőleges hatványon lévő) változók szorzatainak a konstansszorosának az összege a polinom.
A dolog röviden azzal a roppant egyszerű, de sűrűn elfelejtett dologgal függ össze, hogy (a valós számkörben) hogyan definiáltuk az n-edik gyök fogalmát.
Például: négyzetgyök a az a nemnegatív valós szám, amelynek négyzete a (a 'nemnegatív' azért szerepel, hogy a négyzetgyökfüggvény egyértékű maradjon, mivel a negatív és a pozitív számok négyzete - és bármely páros kitevőjű hatványa - egyaránt pozitív),
de
köbgyök avagy harmadik gyök a az a valós szám, amelynek köbe (harmadik hatványa) a. Itt nem kellett a 'nemnegatív' kitétel, mert negatív valós számok köbe - és bármely páratlan kitevőjű hatványa is - negatív; a függvény magától értetődően egyértékű.
Általánosságban (egész kitevőjű és valós gyökökre szorítkozva):
Páros n-re n-ik gyök a az a nemnegatív valós szám, amelynek n-ik hatványa a
Páratlan n-re n-ik gyök a az a valós szám, amelynek n-ik hatványa a
Ilyenformán pl. az AI példájában a hatodik gyök és a harmadik hatvány felcserélése nem azért nem helyes, mert a két eredmény nem "egyenlő", hanem mert bár nemnegatív alap esetén a felírt összefüggés azonosság, negatív alap esetén egyik oldal sem értelmezhető, mert negatív számból vonna páros kitevőjű gyököt.
Valamint: a polinomokat röviden summa(anxn) formában írhatjuk fel, ahol n nemnegatív. Ez nem menne, ha nem lenne a x0≡1 azonosan igaz (tehát minden x-re igaz, nullára is).
A 00 kifejezést sok szempontból célszerű 1-nek definiálni. Mondok erre három érvet.
1. Az xx limesze a 0-ban 1.
2. A 00 felfogható egy üres szorzatnak ("0 db 0 szorzata"), amit érdemes 1-nek definiálni, ahogyan az üres összeget érdemes 0-nak definiálni (ezért is van, hogy 0*x=0).
3. Halmazelméletileg az ab (ahol a és b halmazok) az a halmaz, aminek elemei a b-ből az a-ba menő függvények. A 0 a halmazelméletben az üres halmazt jelenti, tehát a 00 halmaz egyetlen eleme a 0. A {0} egyelemű halmazt a halmazelméletben 1-nek nevezik, tehát valójában 00=1.
A sorozatos gyökvonás sorrendjének felcserélése nem mindig lehetséges, és a matematikai kifejezéstől függ.
Az összetett gyök (pl. második gyök, harmadik gyök, stb.) kifejezése esetén a sorozatos gyökvonás sorrendje felcserélhető, mivel az összetett gyök alatt mindig egyetlen kifejezés található. Például:
�3=�33a=3a
Ez azonban nem mindig igaz a szám gyöke esetében. Például a negyedik gyök (négyzetgyök) és a második gyök (négyzetre emelés) esetén a sorrend felcserélhető:
�24=�4a2=a
Azonban a hatodik gyök és a harmadik gyök esetében ez nem mindig teljesül:
�36≠�6a3=a
Ebben az esetben a sorrend felcserélése nem helyes.
Általánosságban elmondható, hogy a sorozatos gyökvonás sorrendje csak akkor cserélhető fel, ha az adott gyökvonások alatt egyetlen kifejezés található, és nincs zárójel, vagy más művelet, amely összetettebbé tenné az összefüggést.
A 0⁰ kifejezés értelmezése és definiálása a matematikában számos kontextustól függ, és ezért különböző matematikai területeken eltérő értelmet kap.
Az analízisben:
Az analízisben általában nem értelmezik a 0⁰ kifejezést, és az értékét nem határozzák meg. Ez egy olyan kifejezés, amely esetlegességeket vagy indeterminált kifejezéseket jelezhet bizonyos matematikai összefüggésekben.
Kombinatorikában és számelméletben:
Kombinatorikában és bizonyos számelméleti kontextusokban néha meghatározzák 0⁰-t 1-nek. Például az üres halmaz (melynek elemei nincsenek) hatványa 1.
Számítástudományban:
A számítástudományban gyakran alkalmazzák 0⁰-t 1-nek, mert az egyszerűsítés és az algoritmusok leírása során kényelmesebb, ha ezt az értéket használják.
Fontos megjegyezni, hogy a 0⁰ kifejezés értelmezése nem egységes a matematikában, és kontextustól függhet. Mindig érdemes megnézni, hogy a konkrét matematikai terület vagy probléma hogyan értelmezi ezt a kifejezést.
Ja tényleg, a 2 nem kell (azzal kevertem, hogy a tr(u)I mátrixnak még a nyomát is vettem, ami persze már 2 tr(u)). Amikor szép bizonyítást mondtam, akkor pont ilyesmire gondoltam, mint ez a karakterisztikus polinomos. Köszönöm szépen!
Bocsánat, a 2tr(u) helyett tr(u) kell (az eredeti kérdésedben is). Az u+u-1=tr(u) azonosság az SL(2) elemeire egyszerű számolással adódik: ha az (a b|c d) mátrix determinánsa 1, akkor az inverze (d -b|-c a), tehát a két mátrix összege (a+d 0|0 a+d). Persze mélyebb oka is van ennek. A Cayley-Hamilton tétel szerint minden négyzetes mátrix gyöke a karakterisztikus polinomjának. Ha u egy 2x2-es mátrix, akkor a karakterisztikus polinomja x2-tr(u)x+det(u). Tehát ilyenkor u2+det(u)=tr(u)u. Ha det(u)=1, akkor ez arra egyszerűsödik, hogy u2+1=tr(u)u. Továbbá ilyenkor u invertálható, tehát mindkét oldalt u inverzével szorozva u+u-1=tr(u).
