Azért hoztam létre, hogy kísérletet tegyek ennek a tudományágnak a rejtett szépségeinek a bemutatására. Matematikatörténettől a bizonyításokig, ellenpéldáktól a szokatlan trivialitásokig minden ami belefér...
Egyébként Euler bizonyította, hogy tetszőleges háromszög esetén a körülírt kör sugara legalább duplája a beírt kör sugarának, és egyenlőség csak a szabályos háromszög esetén van (lásd itt). Innen is látszik, hogy nincs olyan derékszögű háromszög, aminél a körülírt kör sugara 2, a beírt kör sugara pedig 1.
Neked is sikerült a 6-ot és a 7-et kihoznod, hiszen bizonyítottad, hogy nincs ilyen háromszög. Tehát minden ilyen háromszögnek a területe 6, de egyben 7 is. Az 5-re kicsit rövidebb a bizonyítás, ez minden.
Pl. a híres Fermat-sejtést is úgy oldották meg, hogy kiindultak egy feltételezett ellenpéldából, abból gyártottak egy elliptikus görbét, majd az elliptikus görbe több jellemzőjét kiszámolva kaptak ellentmondást. Ez az indirekt bizonyítás kellően tömören elmondva egy pólóra is ráfér. A póló megvásárolható itt.
Nekem nagyon furcsa és idegen dolog, hogy egy egyébként nem létező (komplex oldalhosszakkal rendelkező) háromszög területe mégis kiszámítható legyen.
Ez nem olyan furcsa, erre a filozófiára épül minden indirekt bizonyítás. Az üres halmaz elemeire minden állítás igaz. Tehát a szóban forgó háromszög területe nem csak 5, hanem egyben 6 és 7 is :-)
Igen, ilyen derékszögű háromszög természetesen valóban nincs.
Számomra az "érdekesség"et éppen ez jelentette, mert különös módon a területet ki lehet számítani több módon is (*), és az eredmény 5 területegység; ha a befogók értékét nem firtatnánk, akkor ezzel vége is lehetne a feladatnak. Nekem nagyon furcsa és idegen dolog, hogy egy egyébként nem létező (komplex oldalhosszakkal rendelkező) háromszög területe mégis kiszámítható legyen.
(*)
A két befogó összege 4+1+1 = 6 egység, ezzel
pl. az a+b=6 és a2+b2=16 egyenletrendszerből 2ab = (a+b)2-(a2+b2) = 62-16 = 20, ahonnan T = ab/2 = 20/4 = 5,
Nincs ilyen derékszögű háromszög. Tegyük fel, hogy egy derékszögű háromszög beírt körének sugara 1. A beírt körnek az oldalakkal való érintési pontjai mindegyik oldalt 2-2 részre bontja. Ha az átfogót a megfelelő érintési pont x és y nagyságú szakaszokra bontja, akkor az egyik befogót a megfelelő érintési pont x és 1 nagyságú szakaszokra bontja, a másik befogót a megfelelő érintési pont y és 1 nagyságú szakaszokra bontja. Tehát a Pitagorasz-tétel alapján
(x+1)2 + (y+1)2 = (x+y)2.
azaz
x+y+1 = xy.
Ugyanakkor xy <= (x+y)2/4, vagyis
x+y+1 <= (x+y)2/4.
Innen x+y >= 2(1+gyök(2)), vagyis az átfogó hossza legalább 2(1+gyök(2)). Egyenlőszárú derékszögű háromszög esetén x=y, és mindenhol egyenlőség van. Tehát az átfogó minimális hossza 2(1+gyök(2)).
A "megoldható" egy szubjektív fogalom. Ha egy keresett objektum jól van definiálva, akkor mondhatjuk, hogy a keresett objektum a definiált objektum, és triviálisan megoldottuk a feladatot. Pl. vegyük az alábbi középiskolás feladatot: mi az x2+5x-1=0 másodfokú egyenlet nagyobbik gyöke. Erre helyes megoldás az alábbi tautológia, bár a tanár nem fogadná el: a keresett gyök az x2+5x-1=0 másodfokú egyenlet nagyobbik gyöke.
Ha megadsz véges sok algebrai görbét (polinomokkal), akkor algebrai megoldást lehet adni a görbét egyszerre érintő körökre. Tehát fel lehet írni egy olyan polinomokat, amelyeknek gyökei a keresett paraméterek. A jóval általánosabb Jordan-görbék általában nem egyenlettel vannak megadva, tehát már az is kérdéses, hogy mit értsünk "megoldás" alatt. Lásd fent.
A konkrét feladaton most nincs időm gondolkozni, de ott is hasonló egyenleteket lehet felírni a keresett paraméterekre, mint az eredeti feladatban. Lehet, hogy ötödfokú egyenlet helyett hatodfokú egyenlet adódik a sugárra, de a lényeg ugyanaz.
Igazad lehet, mert nekem sincs tudomásom az egyszerű görbék Jordan mérhetőségéről. Meggondolatlan voltam, amikor ezt feltételezve leírtam. Talán a rektifikálhatóság
jöhetne szóba, de azt fogalamat is inkább a komplex fügvénytan használja.
Megköszönöm a segítségedet. Ezzel kapcsolatban még két kérdés. Mennyivel lesz nehezebb a feladat, ha x=2 egyenest kicseréljük y=x/(x-1) hiperbolára? Mindig megoldható-e ez a feladat, ha a kérdéses tartomány három Jordan mérhető görbével van határolva?
Érdekesek a "külső" megoldások is. Gergo ötödfokú egyenletének három valós megoldása van. A nem említett kettő:
r=7,191, x=-0,441: a kör nagy része a (-,-) síknegyedben, "bal oldalán" érinti a parabolát.
r=-1,78, x=2,051: a másik "jobb oldalon" érintő kör, természetesen pozitív a sugara, ehhez -2+r helyett -2-r írandó a kör egyenletébe (szemlélettel belátható).
Szimmetriaokokból a kör középpontja (2-r,2-r). Ha a kör a piros parabolát az (x,x2) pontban érinti, akkor a körrel közös érintő meredeksége 2x, tehát fennállnak az
(x2-2+r)/(x-2+r) = -1/(2x)
(x2-2+r)2 + (x-2+r)2 = r2
egyenletek. Az első egyenletből
r = (2+3x-2x3)/(1+2x),
amit a második egyenletbe beírva
4 + 12x + 8x2 - 6x3 - 17x4 + 8x5 = 0.
A bal oldali polinom irreducibilis a racionális számok felett, így az érintési pont koordinátái és a sugár ötödfokú algebrai számok. Az x persze 1 és 2 között van, így numerikusan
Szeretném ezt a topikot feltámasztani egy geometriai feladvánnyal. A csatolt kép ábrája alapján keresendők az érintő kör paraméterei: a kör középpont koordinátái és sugara.
Tehát keressük az ábra alapján kiolvasható két parabolaív és egy egyenesszakasz által meghatározott tartomány belsejében egy olyan kört, amely érinti az adott tartomány határához
